ما هي قوانين إيجاد النهايات

هل تريد تعلم إيجاد النهايات حسب مبرهنة لوبيتال؟ هناك عدة قواعد وضعت في التفاضل لإيجاد النهايات لمختلف الدوال بأنواعها وأشكالها ومن أشهرها قاعدة لوبيتال التي تحل مشكلة كبيرة واجهت علم التفاضل لوقت طويل.

وفيما يلي قائمة بمبرهنات لوبيتال التي يمكن استخدامها لتقييم العديد من النهايات. ويجب على الطالب لفرع التفاضل والتكامل معرفة هذه النظريات الأساسية وكيفية تطبيقها لتقييم الحدود.

 

 

 

 

 

.

 

بعض قوانين إيجاد النهايات

في البداية لنتعرف على أساسيات إيجاد النهايات قبل الانتقال إلى إيجاد النهايات حسب مبرهنة لوبيتال.

في الأمثلة التالية يكون: f (x) و g (x) يتم تعريفهما لكل, x ≠ a افترض أن L و M أرقام حقيقية.

  • قانون جمع النهايات:

limxa (f(x) + g(x))= limxa f(x) + limxa g(x)= L+M

  • قانون فرق النهايات:

limxa (f(x) − g(x)) = limxa f(x) − limxa g(x)= LM

  • قانون النسبة المتعددة:

limxa  cf(x) =c ⋅ limxa f(x)= cL

 

  • نهاية قسمة دالتين:

limxaf(x)/g(x)=limxaf(x)/limxa g(x) = L/M

 

  • قانون الجذر:

 

limxan f(x) =√n limxa f(x) = √n L

 

  • قانون الأس للنهايات:

limxa (f(x))n =(limxa f(x))n = Ln

مثال على قوانين إيجاد النهايات

 

دعنا نطبق قوانين النهايات خطوة بخطوة للتأكد من أننا نفهم كيفية عملها.

استخدم قوانين النهايات لإيجاد:

limx→−3 (4x + 2).

الحل:

أولا: طبق قانون جمع النهايات.

limx→−3 (4x + 2)= limx→−3 4x + limx→−3 2

ثانيا: طبق قانون النسبة المتعددة.

=4⋅limx→−3x+limx→−32

ثالثا: عوض بحد النهاية وبسّط المعادلة.

=4⋅(−3)+2=−10.

إيجاد النهايات حسب مبرهنة لوبيتال

قاعدة لوبيتال L’Hôpital: إجراء حساب التفاضل لتقييم الأشكال غير المحددة مثل قسمة صفر على صفر وقسمة اللانهاية على اللانهاية عندما تنجم عن محاولة لإيجاد النهاية.

تم تسميتها على اسم عالم الرياضيات الفرنسي غيوم فرانسوا أنطوان ماركيز دي لوبيتال، الذي اشترى الصيغة من أستاذه عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي.

تنص قاعدة L’Hôpital على أنه عندما تكون نهاية f(x)/g(x)  غير معرفة، يمكن الحصول عليها في ظل ظروف معينة من خلال تقييم حد حاصل قسمة مشتقات f و g. يعبر عنها بـ: (f′(x)/g′(x)). وإذا كانت هذه النتيجة غير محددة، يمكن تكرار الإجراء.

إيجاد النهايات حسب مبرهنة لوبيتال 1: (قاعدة لوبيتال لقسمة 0\0)

لنفترض أن: limxa f(x)= 0, limxa g(x)= 0

وأن الدالتين f و g قابلتين للتفاضل على فترة مفتوحة تحتوي على a. افترض أيضًا أن مشتقة g لا تساوي الصفر g ′ (x) ≠ 0 في تلك الفترة إذا كانت x ≠ a

فإن: limxa f(x) / g(x)=limxa  f′(x) / g′(x)  طالما أن النهاية محددة أو تؤول إلى موجب مالانهاية أو سالب مالانهاية.

ونتائج مماثلة تنطبق على x → ∞ و x → −∞.

إيجاد النهايات حسب مبرهنة لوبيتال 2: (قاعدة لوبيتال لقسمة ∞\∞)

افترض أن الدالتين f و g قابلة للاشتقاق لكل x أكبر من بعض الأرقام المحددة.

إذا كان  limxa f(x)= ∞ and limxa g(x)= ∞

فإن: limxa f(x) / g(x)= limxa f′(x) / g′(x) طالما أن النهاية محددة أو تؤول إلى موجب مالانهاية أو سالب مالانهاية

عند إيجاد النهايات حسب مبرهنة لوبيتال تجدر الإشارة إلى أنك مطالب بعمل الاشتقاق (بشكل منفصل) لكل من البسط والمقام.

اترك رد

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.

يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لتحسين تجربتك. سنفترض أنك موافق على ذلك ، ولكن يمكنك إلغاء الاشتراك إذا كنت ترغب في ذلك. قبول قراءة المزيد